Mnogo mi je žao prosvetnih radnika, bezočno ostavljenih bez zaklona pod unakrsnom pucnjavom vazda nezainteresovanih đaka, iskeženih roditelja jakih očnjaka i sumanutih očekivanja raspalog društva. Želim da pomognem, koliko mogu.
Prostorvreme ubrzanih uporednih tela
Zadovoljan napretkom elemenata teorije, Ajnštajn se usuđuje da razmišlja o jednoj svakodnevnoj situaciji: telu koje rotira u odnosu na neko uporedno telo. Svi mi, stanovnici Zemlje, od virusa do Homo Sapiensa, nalazimo se na jednom takvom rotirajućem telu: Zemlji, u odnosu na Sunce. Kinematika i dinamika takvih kretanja su, naravno, odavno rešene u njutnovskoj mehanici, no temeljno-preispitujući Ajnštajn misaonim eksperimentom o rotirajućem disku zahteva da se provere komponente prostorvremena. Setimo se: kada disk rotira (pa makar i ravnomernom ugaonom brzinom) u odnosu na nepokretno uporedno telo, na svaku tačku deluje ubrzanje (bar centripetalno). Takođe, osa rotacije je tada u mirovanju.
Ispostavlja se da telo koje se kreće ubrzano ne možemo uhvatiti ni za glavu ni za rep; krećući se od centra diska ka periferiji, merenja daju sumanute rezultate: časovnici u svakoj tački tela otkucavaju različitim ritmom (u odnosu na nepokretno uporedno telo); odnosa obima i prečnika krugova su veći od broja π, merni štapovi se skraćuju ako merimo upravno na prečnik, a ostaju isti ako merimo u pravcu prečnika (naravno, u odnosu na nepokretnog posmatrača). Sve se ovo dešava jer se duž prečnika diska menjaju brzine kojima se tačke kreću:
Ako posmatrač na disku primeni svoj jedinični merni štap (štap koji je kratak u poređenju sa radijusom diska) po tangenti na periferiji, ovaj bi, procenjeno sa galilejevskog sistema, bio kraći od 1, pošto se pokretna tela skraćuju u pravcu kretanja. Sa druge strane, merni štap neće doživeti skraćenje u dužini, posmatrano sa K, ako se na disk nanosi u pravcu prečnika. Suprotno, ako on postavi svoj merni štap duž radijusa diska, posmatrač iz K ceni da nema skraćenja. Ako, dakle, posmatrač meri prvo obim diska, onda prečnik diska svojim mernim štapom i podeli potom ova dva izmerena rezultata, neće za količnik dobiti poznati broj π=3,14…, nego veći broj, dok bi, naravno, za disk koji miruje u odnosu na K ovakva operacija vodila tačno do π. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Zaključak može biti samo jedan, i Ajnštajn na njega pristaje, jer drugog izlaza nema:
Ovo baš dokazuje da propozicije euklidske geometrije ne važe tačno na rotirajućem disku, niti uopšte u gravitacionom polju, bar kad dodeljujemo dužinu 1 štapićima svuda i u svim orijentacijama. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Dakle, prostorvreme ubrzanih uporednih tela ne možemo opisivati euklidskom geometrijom. Treba nam nova geometrija.
Da bi do nje stigao, Ajnštajn se (ponovo) zaustavlja i temeljno preispituje naše razumevanje običnog, trodimenzionalnog prostora, genijalnim misaonim eksperimentom sa mermernom pločom. Kao i obično, pre svega se temeljno opisuju osnovni pojmovi:
Površina mermernog stola je ispred mene. Mogu stići od bilo koje tačke na ovom stolu do bilo koje druge tačke prolazeći kontinualno od jedne tačke do „susedne“, i ponavljajući taj postupak (veliki) broj puta, ili drugačije rečeno, odlaskom od tačke do tačke bez izvođenja „skokova“. Siguran sam da će čitalac dovoljno jasno razumeti šta podrazumevam ovde pod „susednim“ i pod „skokovima“ (ako nije suviše pedantan). Da ovo izrazimo, kažemo da je površina kontinuum. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Dalje Ajnštajn opisuje jedan sasvim običan proces – pravljenje kvadratne (dekartovske) mreže na ravnom stolu:
Zamislimo sada da je napravljen veliki broj jednako-dugih štapića, koji su mali u odnosu na dimenzije mermerne ploče. Kada kažem da su jednake dužine, mislim da jedan može biti položen na bilo koji drugi tako da im se krajevi ne preklapaju. Dalje, postavimo četiri ovakva štapića na mermernu ploču tako da čine četvorougaonu figuru čije su dijagonale jednake (kvadrat). Da bismo se uverili u jednakost dijagonala, iskoristimo za testiranje jedan od štapića. Ovom kvadratu dodajemo isti takav, kojih ima sa prvim kvadratom jedan zajednički štapić itd. Najzad je cela površina stola prekrivena kvadratima, na taj način da je svaka unutrašnja stranica zajednička za dva kvadrata i svaki unutrašnji ćošak zajednički za četiri kvadrata. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Konačno, Ajnštajn poentira, udarajući još jedan vruć šamar podrazumevanju:
Da ovaj posao možemo da obavimo bez velikih teškoća, e to je stvarno čudo! Samo treba da vodimo računa o sledećem. Ako se u bilo kom trenutku tri kvadrata sretnu u jednom ćošku stola, onda su dve stranice četvrtog kvadrata već postavljene. Već je u potpunosti određeno kako moraju da se postave preostale dve stranice kvadrata. Ali više nisam u mogućnosti da podesim četvorougao tako da njegove dijagonale budu jednake. Sad, ako ispadne da su jednake, onda je to posebna milost mermernog stola i štapića, zbog koje jedino mogu sa zahvalnošću da se zaprepastim! Moramo doživeti puno analognih iznenađenja da bi konstrukcija bila uspešna. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Odjednom postajemo svesni da je naše mišljenje o prostorvremenu zabetonirano u euklidskoj geometriji, gde su dijagonale kvadrata jednake, odnos obima i prečnika kruga uvek π, kroz tačku van prave se može provući tačno jedna paralelna prava, a na snazi je i čuvena Dekartova analitička geometrija. No, šta ako:
Pretpostavićemo da se štapići „izdužuju“ kad temperatura raste. Zagrevamo centralni deo mermernog stola, ali ne i periferiju, pri čemu naša dva štapića još uvek mogu na svakom mestu poklopiti sto. No, naša se konstrukcija kvadrata tokom zagrevanja bezuslovno mora poremetiti, pošto se mali štapići u unutrašnjosti površine stola šire, dok se oni na spoljnim delovima ne šire.
U odnosu na naše štapiće – određene kao jedinične dužine – ploča stola više nije euklidski kontinuum (…) Metod Dekartovih koordinata mora biti odbačen, i zamenjen drugim koji ne pretpostavlja važenje euklidske geometrije za kruta tela. Čitalac će primetiti da ovde-opisana situacija odgovara onoj koja se pojavila povodom rotiranja diska. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Dakle, problem se sastoji u sledećem: imamo li način da opišemo geometriju koja nije euklidska? Šta da radimo kada se kvadrati izvitopere?
Srećom, problem pred kojim se Ajnštajn našao matematičari su već bili rešili i to u najopštijem, višedimenzionalnom obliku, nekih pola veka ranije, kroz radove Gausa i Rimana. Rešenje se zove gausovske koordinate, koje možemo skicirati na sledeći način:
Nacrtane koordinate u i v su u punoj meri proizvoljne; sasvim je svejedno kako ih ucrtavamo. Bitno je samo da ih odaberemo na takav način da se održi uslov kontinuuma. Recimo, tačka P na slici ima koordinate 3,1. U ovakvim koordinatnim sistemima moguće je pratiti bilo kakvo kretanje. Takođe, gausovske koordinate su takve da u sebi kriju, kao jedno od približenja, i euklidsku geometriju.
Ajnštajn pokazuje da je, pri prelasku iz jednog u drugi ovakav stvarni koordinatni sistem, moguće sačuvati oblik svakog fizičkog zakona. Zato je konačni oblik opšteg principa relativnosti sledeći:
Svi gausovski koordinatni sistemi su principijelno-jednaki pri formulisanju opštih zakona prirode.
Stvarna uporedna tela
Iz cele ove priče sledi da nemamo drugi izbor nego da odbacimo tradicionalno kruto telo (za koje čvrsto vezujemo četvorodimenzionalni koordinatni sistem) kao zamišljeno uporedno telo. Alternativu Ajnštajn nudi sledećim primerom:
(…) koriste se ne-kruta uporedna tela, koja ne samo da se u celini kreću na bilo koji način, već koja tokom kretanja takođe trpe promene u obliku. Časovnici, ma koliko neregularan njihov zakon kretanja bio, služe za definisanje vremena, zamišljamo ih pričvršćene u nekoj tački ne-krutog uporednog tela i oni zadovoljavaju samo jedan uslov, taj da se podaci koji se jednovremeno očitavaju na prostorno bliskim časovnicima međusobno beskonačno malo razlikuju. Ovo ne-kruto uporedno telo koje bi se moglo odgovarajuće nazvati „uporedni mekušac“ je uglavnom ekvivalentno proizvoljno odabranom gausovskom četvorodimenzionom koordinatnom sistemu. Ono što „mekušcu“ daje određenu životnost u odnosu na gausovski koordinatni sistem je (zaista neopravdano) formalno očuvanje posebne egzistencije prostornih koordinata u odnosu na vremensku koordinatu. Svaka tačka na mekušcu je prostorna tačka, svaka materijalna tačka miruje ako je u mirovanju u odnosu na njega, dokle god se mekušac smatra uporednim telom. Opšti princip relativnosti zahteva da svi takvi mekušci mogu da se koriste kao uporedna tela sa istim pravom i sa istim uspehom u formulisanju opštih zakona prirode; sami zakoni moraju biti potpuno nezavisni od odabira mekušca. (A. Ajnštajn, Relativnost 1916)
Nastaviće se…
U nastavku čitajte o zaključcima opšte teorije relativnosti!